Integralrechnen - Integral - Berechnung von Funktionen

Formeln zur Berechnung

Die grundlegenden Konzepte und Theorien der Integral- und Differentialrechnung, vor allem der Zusammenhang zwischen Differenzierung und Integration, sowie deren Anwendung auf die Lösung angewandter Probleme. Ihre Untersuchungen waren der Beginn einer intensiven Entwicklung der mathematischen Analyse.

Die Werke von L. Euler, Jacob und Johann Bernoulli sowie von J. L. Lagrange spielten bei seiner Entstehung im 18. Jahrhundert eine wesentliche Rolle. Im 19. Jahrhundert erreichte die Integralrechnung im Zusammenhang mit dem Auftreten des Begriffes der Grenze eine logisch vollständige Form (in den Werken von A. L. Cauchy, B. Riemann und anderen). Die Entwicklung der Theorie und der Methoden der Integralrechnung erfolgte Ende des 19. Jahrhunderts und im 20. Jahrhundert gleichzeitig mit der Erforschung der Maßtheorie (vgl. Messen), die eine wesentliche Rolle in der Integralrechnung spielt.

Mit Hilfe der Integralrechnung konnten viele theoretische und angewandte Probleme auf eine einheitliche Weise gelöst werden, sowohl neue, die zuvor nicht lösbar waren, als auch alte, die zuvor spezielle künstliche Techniken erforderten. Die Grundbegriffe der Integralrechnung sind zwei eng verwandte Begriffe des Integrals, nämlich das unbestimmte und das definitive Integral.

Funktionen berechnen

Das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion mit echtem Wert in einem Intervall auf der realen Achse ist definiert als die Sammlung aller Primitive in diesem Intervall, d. H. Funktionen, deren Ableitungen die angegebene Funktion sind. Das unbestimmte Integral einer Funktion f wird mit ∫ f (x) dx bezeichnet. Wenn F irgendein Grundelement von f ist, hat jedes andere Grundelement die Form F + C, wobei C eine beliebige Konstante ist; man schreibt deshalb

F (x) dx = F (x) + C

Die Suche nach einem unbestimmten Integral wird als Integration bezeichnet. Integration ist die Operation, die zur Differenzierung umgekehrt ist:

´F ´(x) dx = F (x) + C, d (f) (x) dx = f (x) dx

Die Integrationsoperation ist linear: Wenn in einem bestimmten Intervall die unbestimmten Integrale

F1 (x) dx und ∫ f2 (x) dx

Für unbestimmte Integrale gilt die Formel der Integration durch Teile: Wenn zwei Funktionen u und v in einem bestimmten Intervall differenzierbar sind und das Integral ∫vdu existiert, gilt auch das Integral ∫udv und die folgende Formel:

∫udv = uv - ∫vdu

Beispiele

Hier einige Beispiele für Integralrechnungen:

Beispiel 1: ∫4e-7xdx

Lösung: Anhand des Ergebnisses, das in der Variablenersetzungsmethode oben abgeleitet wurde, und den Basisformeln für die Integration können wir das Ergebnis als - finden.

∫4e - 7xdx = 4∫e-7xdx

= 4.e - 7x - 7

= -47e - 7x

Beispiel 2: ∫8x² (3*3 - 1) 16dx

Lösung: Ersetzen Sie wie folgt:

3 x 3 - 1 = z

9x² dx = dz

X² dx = dz / 9

Mit dieser Substitution kann das Integral geändert und schließlich wie folgt gelöst werden:

∫8x² (3*3 - 1) 16dx = ∫8.dz9.z16

= ∫89z16dz

= 89z1717

= 817 (3*3 - 1) 17